27 de septiembre de 2013

Desafío 14:
Observemos con mucha atención y contemos cuántos cuadrados distintos hay en el dibujo del jóven hindú con turbante y cuántos triángulos distintos se pueden contar en el dibujo del felino...
No es tan fácil como parece. Adelante!!!
Desafío 13:
Después de una serie de experimentos, una doctora descubrió que una determinada reacción química tardaba ochenta minutos en producirse siempre que ella usaba delantal verde, y que la misma reacción tardaba una hora y veinte cuando ella usaba un delantal blanco. ¿Se te ocurre alguna razón para ello?

13 de junio de 2013

Estimados y fieles seguidores de este blog. Los invito a sumarse al Grupo de Facebook denominado PrimiGames o bien acceder a traves de mi cuenta Marcos Miguel Berardi Alfonso.
Si alguien sabe como mantener actualizado Facebook con esta página de Blogspot le ruego me lo haga saber. Desde ya muchas gracias y los animo a seguir resolviendo desafíos.

27 de julio de 2012

Trigonometría del Círculo Unitario

Estimados seguidores fieles de este blog. Luego de una prolongada ausencia me hago presente nuevamente presentándoles esta animación en Flash, que pude realizar luego de un curso de programación de Action Script. Espero sea de utilidad y poder brindarles mas y mejores herramientas. Los aliento a reiniciar los envíos acerca de los desafíos planteados, asi me incentivo a proponerlos nuevos y renovados. Hasta pronto si Dios quiere...

6 de diciembre de 2010

Nuevo servicio de Google...!!!

Con mucho agrado les comparto esta buena noticia de la creación de Google Libros. Se puede acceder a traves de http://books.google.com/
Para todos aquellos interesados en encontrar buen material acerca de todos los temas relacionados con las matemáticas, encontrará en este sitio un sinnúmero de libros y ejercicios. Es gratuito y lo recomiendo.
Espero les sea de utilidad a muchos esta información...

21 de octubre de 2010

Universo Fractal. (Parte 1 de 2)

Un colaborador, Cristóbal desde México, me acercó este excelente material sobre el Universo Fractal que quiero compartir también con todos ustedes. Se trata de un trabajo de investigación que pertenece a Angel Requena y Abilio Orts. (anrevil@terra.es y aorts2@pie.xtec.es), publicado en la Revista Huygens nº 37. 2002

Cartografiando el Cosmos. La estructura fractal del Universo.

Desde que el hombre tiene conciencia de su existencia en el Universo ha sentido la necesidad de situarse dentro de él. En la actualidad los avances tecnológicos han mejorado ostensiblemente el conocimiento de la esfera celeste. Pero esa curiosidad que llevó al hombre a indagar en el cosmos sigue siendo todavía hoy una necesidad vital para muchos así como la principal fuente de nuevos descubrimientos. La aparición de la geometría fractal está permitiendo el estudio de configuraciones espaciales difícilmente abordables con los elementos de la geometría clásica.

Introducción:

Cuando en una noche estrellada miramos en cualquier dirección vemos miles y miles de estrellas que parecen estar dispuestas entre sí de una forma aleatoria, o al menos, eso nos parece a nosotros. Pero nada tan lejos de la realidad, si nos fijamos un poco empezamos a discernir pequeñas agrupaciones de estrellas u otros cuerpos por doquier como si de diferentes estructuras se trataran.
Claro que desde aquí la Tierra poco podemos decir del resto de cuerpos; conocemos muy bien la estructura y evolución de nuestro planeta, y nos atreveríamos a afirmar que tenemos un conocimiento importante de nuestros vecinos los planetas del sistema solar. Pero, ¿y del resto del universo? ¿Cómo se estructura? ¿Y por qué se estructura así?.
En este artículo intentaremos explicar el cómo y para ello usaremos una simplificación de la realidad a través de un modelo. El porqué será una tarea más difícil que, al menos en este artículo, dejaremos sin abordar; tendrán los científicos profesionales la responsabilidad de empaparse en una cuestión en la que actualmente sólo podemos teorizar.
En estos últimos años los investigadores han progresado enormemente en el estudio de la estructura del universo. El Universo de hoy en día poco tiene que ver con el de principios de siglo, atrás han quedado los tiempos en que no se sabía si nuestra propia galaxia era el confín del universo.
Estructura a gran escala. Y, ¿qué sabemos realmente de la organización de nuestro Universo?. En 1986, un grupo de astrónomos del Centro de Astrofísica Harvard-Smithsonian (CfA), publicaron un sorprendente trabajo en la prestigiosa revista Astrophysical Journal. Midiendo los corrimientos al rojo de cientos de galaxias en el interior de una "rodaja" de cielo en la zona de Coma, fueron capaces de determinar la ubicación tridimensional de la materia visible hasta una profundidad de 500 millones de años-luz. O lo que es lo mismo, trazaron el primer mapa tridimensional del cielo y el resultado no les dejó indiferentes. De acuerdo a este mapa en 3D, los objetos no estaban distribuidos de una forma aleatoria sino que más bien se ajustaban a un diseño que a todos les resultaba familiar: su estructura era similar al de una esponja.
Los científicos encontraron filamentos, láminas, paredes y agujeros vacíos de materia que observados en su aspecto global adquirían esa estructura esponjosa. Para que lo entendamos mejor, la rodaja del CfA se parecía mucho a un trozo de queso de "gruyére". Los agujeros estaban vacios de materia (de queso en este caso) con lo que todo el queso se acumulaba en forma de finas láminas. En alguna de esas miles de millones de láminas se encontraba nuestra galaxia con nosotros dentro, claro (ver figura 1).
Fig.1: “Rodajas de Universo” desde el observatorio de Las Campanas (Chile).

A este estudio le siguieron otros aún más ambiciosos y todos evidenciaron lo mismo; miraras hacia donde miraras toda la materia se estructuraba en forma de esponja, jabonaduras o si queremos también llamarlas pompas de jabón. Un descubrimiento que sorprendió enormemente a los científicos fue el de la Gran Muralla. Como ocurre con su homónima china, esta colosal lámina de galaxias se extendía a lo largo de cientos de millones de años luz. A éste le siguió otro descubrimiento que sorprendió todavía más a los científicos: el Agujero de Boötes. Se trata de una estructura casi esférica en cuyo interior apenas si encontrábamos galaxias. ¿Se imaginan un agujero en el que cabrían mil millones de galaxias como la nuestra y prácticamente vacío?. Pero lo paradójico es que este agujero no era más que uno entre cientos de millones en todo el Universo.
Recapitulando un poco tenemos un Universo lleno de agujeros en cuya "superficie" encontramos toda la materia conocida (galaxias, cúmulos, etc.). Además de eso, los filamentos, paredes y láminas de materia están regularmente esparcidas por todo el Universo. Se podría resumir diciendo, que la estructura del Universo es ubicua.
Pero no sólo este hecho revolucionó las teorías cosmológicas hasta ese momento. Se descubrió además que estas "pompas de materia" tenían movimiento propio además de la expansión "normal" de Hubble.
Fue a finales de los años 80 cuando un grupo de científicos apodados los 7 samurais descubrieron un movimiento peculiar a gran escala. Estudiando la luz que emitían un grupo de galaxias elípticas consiguieron demostrar que todo el cúmulo de Virgo (incluída nuestra galaxia) está moviéndose en dirección de otro gran cúmulo, el de Hidra-Centauro. Y no sólo se mueve nuestro cúmulo en esa dirección sino que el supecúmulo de Hidra-Centauro también se mueve a gran velocidad pero en sentido contrario. Se trata pues de una "atracción mutua" entre dos supercúmulos galácticos. Pero ésto no acaba aquí ya que a su vez estos cúmulos se mueven conjuntamente a una ¡velocidad de 600 km/s! [M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)].
Se cree que, al igual que ocurría con la atracción de los cúmulos, una gran masa de materia es la responsable de esta velocidad peculiar. Se trataría de una gran agregación de materia situada más allá del supercúmulo de Hidra-Centauro y a una distancia de 150 millones de años luz y de nombre "Gran Atractor". Contiene una cantidad de materia equivalente al peso de mil billones de veces la masa del Sol, de ahí que nos está precipitando a una velocidad de vértigo en dirección al cúmulo de Hidra-Centauro (ver figura 2).

Fig.2: Movimientos peculiares en nuestro rincón del universo. todo el grupo local se mueve junto con los supercúmulos de Virgo e Hidra-Centauro hacia el Gran Atractor, tomado de “Las sombras de la Creación”, Acento ed., página 123.
Por tanto el rompecabezas cósmico se complicaba un poco más. Nuestro universo no sólo se comporta como un gran pastel de pasas [A. Requena, "La Huella del Universo" HUYGENS 29 (2001)] al hornearse. Ahora al movimiento de la masa cocida hay que unirle el movimiento propio de las pasas (galaxias, cúmulos, etc.), independiente del movimiento producido por el horneado (expansión del Universo).
Se podría pues resumir diciendo que la estructura esponjosa a gran escala del Universo no es estática como la gomaespuma, ni se expande uniformemente como un pastel de pasas cociéndose en el horno sino que se agita adelante y atrás como si de la espuma de mar se tratara [M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)].
Hay sin embargo, otro enfoque que darle a la cuestión además del puramente físico. Si describimos la estructura a gran escala en términos geométricos nos encontramos con una estructura aparentemente esponjosa. Pero si le ponemos números a todo ésto y le damos un enfoque puramente estadístico nos llevaremos una grata sorpresa.



Función de correlación:


James Peebles, junto con otros científicos, dejaron de lado los modelos geométricos en los que todo el mundo se centraba en ese momento y apuntaron hacia una descripción basada en términos matemáticos. Analizaron y cuantificaron la separación entre las galaxias y se dieron cuenta que éstas no estaban distribuidas al azar; existía una cierta probabilidad de encontrar cerca un par de ellas. Además esta probabilidad, conocida también como función de correlación de dos galaxias, era inversamente proporcional a la potencia "1,8"; o lo que es lo mismo, era proporcional a 1/r^1,8.
Parece razonable pensar que esta función de probabilidad puede tener algo que ver con la archiconocida fuerza de gravedad que como bien sabemos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, o también viene dada por la expresión matemática 1/r^2.

Y en cierto modo esta coincidencia no era del todo casual aunque como ahora veremos no era la única explicación a esta enigmática correlación. Durante los años 80 un grupo de científicos americanos y soviéticos comenzaron a aplicar los modelos estadísticos de Peebles a los cúmulos galácticos y tropezaron con un hecho muy curioso. Los cúmulos parecían estar más estrechamente correlacionados que las galaxias y vieron que esa correlación era también proporcional a 1/r^1,8. [M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)].
¡Qué coincidencia!. El mismo valor que en el caso de las galaxias. Y no sólo eso, descubrieron algo ciertamente desconcertante. La probabilidad de que encontráramos juntos dos cúmulos ricos era superior a la de encontrar dos cúmulos ordinarios o incluso dos galaxias cualesquiera. Si consideramos el hecho de que los cúmulos ricos no son objetos muy comunes en el universo podemos intuir que la correlación de estos cúmulos no sólo responde a cuestiones gravitatorias.
Parece lógico pensar que en un universo gobernado únicamente por la gravedad, la distribución más probable sería la distribución aleatoria, en la que las galaxias estarían igualmente dispuestas en arracimamientos que aisladamente.

Sin embargo viendo los mapas obtenidos de las diferentes mediciones se observa claramente que las galaxias y con ellas los cúmulos no se distribuyen al azar sino que más bien tienen tendencia a agruparse.


Por tanto podemos aseverar que la gravedad por sí sola no es capaz de explicar este misterio. Debe haber algo más aparte de ésta que determine la estructura a gran escala del universo, quizá el modelo fractal nos ayude a entenderlo.



Naturaleza fractal:


La geometría trata del estudio de las formas. Para ello recurre a modelos sencillos, o por lo menos, no tan complejos como la realidad. La geometría clásica (la que recopiló Euclides en sus Elementos) reduce cualquier figura a rectas, planos, circunferencias, etc. Sin embargo esta geometría comenzó a ser cuestionada por la rotundidad de uno de sus cinco postulados, el de las paralelas (por un punto exterior a una recta dada pasa una única paralela). Así de esta forma, sustituyendo este postulado por la posibilidad de infinitas rectas o bien la imposibilidad de paralelas, aparecieron las diferentes geometrías no euclídeas (que entre otras cosas permitieron a Einstein desarrollar su teoría de la relatividad).
Como hemos dicho, la geometría proporciona modelos que permiten estudiar la realidad. La validez de dichos modelos depende de su “ajustabilidad” al original, es decir, de su capacidad de explicación de la realidad. Un ejemplo muy claro puede verse en el tránsito del geocentrismo al heliocentrismo: el modelo geocentrista no podía explicar fenómenos observables como el diferente brillo y tamaño de una estrella según la estación del año o el paralaje [A. Koestler Los sonámbulos, Salvat Ed. (Barcelona, 1989)].
Un caso similar motivó la necesidad de la geometría fractal, aunque si bien en este caso no se trata de la sustitución de un modelo por otro sino de la convivencia de ambos modelos (dependiendo de la naturaleza del problema utilizaremos un tipo de modelo u otro). A finales del siglo XIX, aparecieron diferentes “monstruos matemáticos” que desafiaban la lógica euclídea. Se hacía necesaria la búsqueda de modelos metodológicos fuera de la geometría euclídea que permitieran el estudio de estos entes matemáticos. En este artículo nos vamos a detener en su estudio y en la solución que aportó el matemático francés Benoït Mandelbrot. Éste comprobó que tras la irregularidad de todos estos objetos se escondía un concepto clave: la autosemejanza interna. Así, en 1967, esboza por primera vez en uno de sus artículos lo que hoy conocemos como geometría fractal y que, posteriormente en 1975, daría a conocer en su obra "Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión" [B. Mandelbrot, Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión, Ed. Tusquets (Barcelona, 1975)].
La geometría fractal es revolucionaria, innovadora e incluso, en sus orígenes, escandalosa. La principal novedad reside en la introducción de un concepto de dimensión geométrica que no tiene por qué ser un número natural. Así, la geometría euclidiana asigna al punto dimensión cero, a la recta dimensión uno, dos a las superficies planas y, por último, dimensión tres a las curvas alabeadas.
Este nuevo tratamiento de la dimensión permite no sólo hablar de dimensiones fraccionarias. También es posible asignar un número irracional a la dimensión fractal de un conjunto.

Pero, ¿qué es un fractal?


Mandelbrot estudió todos estos objetos irregulares de los que hablábamos anteriormente y los designó mediante un neologismo latino: fractal, del latín “fractus” que significa interrumpido o irregular y sigue siendo así a cualquier escala.
El gran acierto de Mandelbrot fue comprobar que la naturaleza está llena de estructuras fractales: “... objetos naturales muy diversos, muchos de los cuales nos son familiares, tales como la Tierra, el Cielo y el Océano, se estudian con la ayuda de una amplia familia de objetos geométricos que hasta ahora habían sido considerados esotéricos e inutilizables, pero que espero poder demostrar, por el contrario que, por la simplicidad, la diversidad y la extensión extraordinaria de sus nuevas aplicaciones merecen ser integrados pronto en la geometría elemental” [B. Mandelbrot, Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión, Ed. Tusquets (Barcelona, 1975)].

El paso del tiempo ha demostrado que Mandelbrot estaba en lo cierto: las líneas de las costas, las redes fluviales, las galaxias, el perfil de las montañas, los conductos pulmonares, los cráteres de la luna o los vasos sanguíneos son algunos de los innumerables ejemplos de estructuras a priori complicadas pero que la geometría fractal ha desvelado que no lo son tanto.
Pero, ¿qué es lo que caracteriza a estas estructuras? Al analizarlas podemos comprobar que todas ellas presentan una irregularidad que hizo que nadie se “atreviera” a estudiarlas durante años. Sin embargo, Mandelbrot encontró que los grados de irregularidad que corresponden a distinta escala son, de alguna forma, iguales. Es decir, parece como si el mismo mecanismo, el mismo patrón hubiera podido engendrar tanto los pequeños detalles como los grandes. Esta propiedad esencial en la teoría fractal se denomina autosemejanza u homotecia interna, es decir, cada “pedazo” es, estadísticamente hablando, homotético (de igual forma) al “todo”.
Perrin en el prólogo de su obra “Les Atomes” (1913) evoca unos objetos familiares de forma irregular o interrumpida y así expresa que la geometría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo diferencial.
Recogiendo estas palabras Mandelbrot caracteriza la geometría fractal por dos elecciones: la elección de problemas en el seno de la naturaleza y la elección de herramientas en el seno de las matemáticas.
De esta forma “entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides, hay a partir de ahora una nueva zona de orden fractal” (Mandelbrot, op. cit. página 18).

Continuará...

Gran Desafío (12)

Aquí les presento el que a mi criterio es el mejor de los desafíos que he conocido hasta el momento. Seguramente sería del agrado de nuestro recordado Martin Gardner. Es tan simple su exposición como de elegante su resolución. Tanto es así, que a quién lo resuelva correctamente le ofreceré el privilegio de figurar en la columna lateral junto a las demas destacadas celebridades matemáticas...




Se trata de encontrar el algoritmo que determine con absoluta presición y contemplando todos los casos posibles, cual es el único objeto ligeramente mas liviano o mas pesado de un grupo de 12, siendo los restantes de igual peso obviamente. Prestemos atención que previamente no sabemos si es mas liviano o mas pesado. Pero esa respuesta la debe brindar exactamente el algoritmo que utilicemos. Para ejecutar dicha labor, contamos con una precisa balanza de platillos. El problema es que sólo podemos hacer uso de la misma hasta tres veces. Quedan todos invitados a resolver este magnífico desafío... Ánimo... a pensar...!!!

12 de octubre de 2010

Gracias por Estimularnos a Pensar...!!!

La divulgación científica de luto... Falleció Martín Gardner.


Foto: Wikimedia

El diligente trabajo de Martin Gardner como filósofo, matemático y divulgador científico a lo largo de toda una vida sin duda ha tenido y seguirá teniendo profundo efecto en el mundo entero.

Nacido en Oklahoma (Tulsa) en 1914, Gardner estudió filosofía pero se dedicó al periodismo, donde se hizo conocido por tratar temas matemáticos de forma clara y amena, lo que eventualmente lo convertiría en columnista habitual de la prestigiosa revista Scientific American.
Ahí, por tres décadas encantó a sus lectores con juegos matemáticos, los que incluían la explicación de paradojas, algoritmos complejos, etc. No importa lo complicado que fuera el tema, bajo la pluma de Gardner las ideas se hacían claras y amenas, pues como todo gran divulgador tenía el don de explicar sin perder el buen humor ni la ironía.
Martin Gardner en el 2008. Foto: Scotmorris.files
Pero su mundo no se limitaba a las matemáticas, Gardner también combatió la charlatanería desde otra publicación de prestigio: Skeptical Inquirer. Ahí pasó revista a temas seudocientíficos como "fenómenos paranormales", "ovnis", "ciencias ocultas", etc. poniendo al descubierto siempre su naturaleza fraudulenta.

Al mismo tiempo de su labor periodística, Gardner publicó muchos libros, los más populares sobre juegos matemáticos, pero también sobre filosofía ('Los ¿por qués? de un escriba filosófico' por ejemplo) y divulgación científica.


La muerte le ha llegado a los 96 años y la comunidad de divulgadores científicos la ha recibido con gran pesar. James Randi, otro gran divulgador, titulaba en su columna "Mi mundo es ahora un poco más oscuro" y hacía un sentido retrato de su colega y amigo.

La gran tragedia de la muerte de estos divulgadores de vieja escuela es que están dejando un vacío que las nuevas generaciones de periodistas no parecen demasiado dispuestos a llenar. En un planeta cada día más lleno de charlatanes y gente que lucra de la credulidad pública promoviendo supersticiones y seudoconocimientos en todos los medios a su alcance, hacen falta muchos más divulgadores como Martin Gardner, como Arthur C. Clarke, como Isaac Asimov, como Carl Sagan, profesionales que hicieron gala de honestidad intelectual, información, cultura, siempre dispuestos a ser productivos a sus comunidades hablando fuerte y claro sobre las posibilidades, responsabilidades y riesgos de la ciencia, pero sobre todo sin temor a desenmascarar a cuanto vendedor de sebo de culebra se cruzara en su camino.

A los fieles seguidores de este blog, los saludo con muchísimo afecto en este nuevo retorno... Si bien la noticia del fallecimiento de Martin Gardner es de vieja data, consideré un deber como admirador de su obra y de su persona recordarlo aquí. Con el deseo de que su alma descanse en Paz, reanudamos nuestro contacto... Y la mejor manera de homenajearlo es seguir proponiendo desafíos, dilemas y conjeturas... Así que manos a la obra, que es lo que seguramente hubiese deseado nuestro admirable prohombre...

16 de junio de 2010

Muchas Gracias!!!

Muchas gracias a todos los seguidores de este pequeño blog...
En breve retomaré el contacto con todos uds. con nuevas propuestas y desafios. Con novedades sobre todo para los alumnos de matematicas que esten en cursos universitarios. Muchas gracias por todos sus comentarios y voces de aliento. Hasta pronto si Dios quiere!!!

13 de noviembre de 2009

Correcta Respuesta al Desafio 5

Felicitaciones Paulino... Tu respuesta es correcta. Pero como veras en el post te sugiero ahora un nuevo desafio acerca del mismo... Supongamos en este caso, que la balanza tiene un tope maximo de pesaje en 550 gr. Te animarias a plantear un nuevo algoritmo?
Invito a los seguidores de este blog visitar el de este grupo de docentes de Espana, cuyos contenidos son de sumo interes para los amantes de la ciencia...

Paulino Valderas Braojos
Profesor de Enseñanza Secundaria del IES Carmen Pantión - Priego de Córdoba

http://elmatenavegante.blogspot.com/

8 de septiembre de 2009

Error en las Mediciones Físicas

Estimado Patricio, te publico aquí el material que solicitaste. También aparece en los links que están en la columna de la derecha donde dice Temas de Interés. Espero sea de utilidad para vos y para los visitantes de este blog.
Teoría de errores en Física

7 de septiembre de 2009

Un Pensamiento...

Si usted cree que la educación es cara, pruebe con la ignorancia.
Derek Box

30 de julio de 2009

Como Llegar a la Luna con $3

Si señores. Así es... Frente a las millonarias cifras que se invierten para conquistar el espacio, les propongo enviar un pequeño insecto a la luna invirtiendo solamente $3, un poco de ingenio y buenos brazos... Bien, compramos un diario de hojas lo suficientemente grande para que admita varios dobleces.
Disponemos una de las hojas de papel muy fino, de un grosor aproximado de sólo 1 milésima de centímetro y en unos de los bordes aseguramos a nuestro pequeño astronauta:
Si doblarámos la hoja 10 veces; el grosor del cuadernillo formado sería:
2 elevado a la 10 = 1024 milésimas de cm = 1 cm aproximadamente.
Si el número de dobleces fueran 17:
2 elevado a la 17 = 131.072 milésimas de cm = 1,3 metros
Si pudiéramos doblarla 27 veces:
2 elevado a la 27 = 134.217.728 milésimas de cm = 1342 metros.
Y puestos a imaginar, si pudiéramos hacerle 50 dobleces a la hoja de papel, con buenos brazos por supuesto, la pila de papel obtenida alcanzaría una altura sorprendente:
2 elevado a la 50 = 1.125.899.906.842.624 milésimas de cm = 11.258.999.068 metros.
¡ Más de 11 millones de Km. ! Suficiente para llegar a la luna ¿no? Si recordamos, la distancia de la tierra a la luna es de aproximadamente 387.525,6 km. ¿Cuántos dobleces alcanzarían para llevar nuestro insecto a la luna? Sorprendente no!!! ¿Que similutud tiene este relato con el de la historia/leyenda de la invención del juego de ajedrez?

Desafio (11)

La Moneda en Rotación
Colocamos dos monedas iguales en las posiciones M y F. La segunda permanece fija y la primera se mueve en torno a ella, siempre tangentes entre sí, pero la móvil rodando sobre la fija.
Después de una vuelta completa, la moneda volverá a coincidir con M en la misma posición que tenía al empezar el movimiento. Pero, ¿en qué posición aparecerá la moneda cuando esté en M', o sea, cuando haya dado media vuelta en torno a F?. Parece, a primera vista, que será con la cara hacia abajo; sin embargo no sucederá así... la cara seguirá hacia arriba. ¿Sabrías explicar por que?
Para poder responder como comentario al post, debes tener una cuenta de Gmail o bien obtener fácilmente una en la siguiente dirección: http://www.gmail.com/ De lo contrario puedes enviar un e-mail con la solución a berardimiguel@gmail.com y me encargaré de su publicación en el blog. Por supuesto, debemos probar la respuesta, no tan sólo adivinar. ¡Exitos!

29 de julio de 2009

Pueden Pensar las Máquinas? (Parte 1 de 2)

Hubo un tiempo en que tuvo que parecer sumamente improbable que las máquinas pudieran aprender a dar cuenta de sus necesidades mediante sonidos, aún yendo éstos dirigidos a oídos humanos. ¿No será lícito, entonces, concebir que pueda llegar el día en que ya no sean necesarios nuestros oídos, sino que la audición se produzca gracias a la delicada construcción de la máquina, el día en que su lenguaje haya trascendido del grito animal a un discurso tan intrincado como el nuestro?
Samuel Butler, Erewhon


Alan Mathison Turing, matemático inglés fallecido en 1954 cuando sólo contaba 42 años, ha sido, entre los pioneros de las ciencias del cómputo, uno de los más creativos. Se le conoce sobre todo por la idea de una máquina hipotética, llamada «máquina de Turing». Echaremos aquí una rápida ojeada a estas máquinas y nos detendremos luego en una de las ideas menos conocidas de Turing, el juego de Turing, que conduuce a profundas controversias de carácter filosófico, hoy todavía por resolver.
La máquina de Turing es un modelo computacional introducido por Alan Turing en el trabajo “On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem”, publicado por la Sociedad Matemática de Londres, en el cual se estudiaba la cuestión planteada por David Hilbert sobre si las matemáticas son decidibles, es decir, si hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no. Turing construyó un modelo formal de computador, la máquina de Turing, y demostró que existían problemas que una máquina no podía resolver. La máquina de Turing es un modelo matemático abstracto que formaliza el concepto de algoritmo. Una máquina de Turing con una sola cinta puede ser definida como una 6-tupla , donde Q es un conjunto finito de estados, Γ es un conjunto finito de símbolos de cinta, el alfabeto de cinta es: -el estado inicial -es un símbolo denominado blanco, y es el único símbolo que se puede repetir un número infinito de veces -es el conjunto de estados finales de aceptación
-es una función parcial denominada función de transición, donde L es un movimiento a la izquierda y R es el movimiento a la derecha.
Una máquina de Turing es una «caja negra» (una máquina cuyo mecanismo no se especifica) capaz de ir inspeccionando una cinta ilimitada dividida en casillas. La caja puede tomar un número finito cualquiera de estados. En la cinta hay una porción finita cuyas casillas no están en blanco; cada una de éstas porta un único símbolo tomado de entre una colección finita prefijada. Al inspeccionar una casilla, la caja puede dejar intacto el símbolo que contenga; puede borrarlo; puede borrarlo e imprimir en su lugar otro símbolo; o puede imprimir un símbolo en una casilla vacía. La cinta puede entonces desplazarse una casilla hacia la derecha o la izquierda, o permanecer quieta; por su parte, la caja puede persistir en su estado o saltar a un estado diferente.
La conducta de la máquina en cada una de las combinaciones de símbolo y estado queda determinada por una tabla de reglas. La tabla define totalmente la máquina de Turing concreta de que se trate. Existe una infinidad denumerable (es decir, de cardinal aleph-sub-cero) de posibles máquinas de Turing, cada una diseñada para una tarea específica; y la estructura de la máquina puede diferir mucho en sus símbolos, estados y reglas, según la tarea a ejecutar.
Un buen procedimiento para captar la esencia de las máquinas de Turing consiste en construir una, aunque sea trivial. En la cinta de papel vemos ocho casillas marcadas 1111 + 111, que denotan la suma de 4 más 3 en el sistema «unario», donde para expresar el entero n se escriben n palotes, n «unos», por ejemplo. Para construir la máquina recortaremos en cartulina un cuadrado no muy grande (la caja negra) y en él dos rendijas, por donde se hará deslizar la cinta como se muestra en la figura. Se ajusta la cinta de forma que sea visible el primer 1. La tabla de instrucciones que acompaña la ilustración enumera todas las intrucciones necesarias. Empecemos suponiendo que la máquina se encuentra en el estado A. Consultamos en la tabla la instrucción correspondiente al símbolo 1 y el estado A, y ejecutamos lo que dice: borrar el 1, desplazar la cinta un cuadro hacia la izquierda (para poder explorar la casilla adyacente a la derecha) y suponer que la máquina ha adoptado el estado B. Se prosigue de esta forma hasta que la tabla ordene detenernos. Siguiendo correctamente las instrucciones, la máquina borrará el primer 1, y va desplazando la cinta hacia la izquierda, casilla por casilla, hasta alcanzar el signo «más». Una vez alcanzado, cambiará el + por un 1, y se detendrá. El contenido de la cinta será entonces 1111111, es decir, 7. Como es evidente, las sencillas reglas anteriores dejan programado el dispositivo para sumar cualquier par de números enteros en notación unaria, por grandes que sean. No cabe duda de que como procedimiento de sumación este método es bien fastidioso; pero debemos recordar que el objetivo de Turing era reducir el cálculo mecánico a un esquema abstracto sencillo, que facilitara así el análisis de toda clase de espinosos problemas teóricos, como, por ejemplo, qué puede ser computado y qué no. Turing demostró que su dispositivo ideal puede ser programado para realizar, en su desmañado estilo, cualquier cosa que pueda ejecutar el más potente ordenador electrónico. Lo mismo que cualquier ordenador -y que el cerebro humano- la máquina de Turing está limitada por el hecho de que ciertos cálculos (como los necesarios para hallar el valor de «pi») exigen infinito número de pasos, y por otro lado, debido a que ciertos problemas son intrínsecamente insolubles, es decir, se sabe que no puede existir ningún algoritmo, ningún proceso perfectamente detallado, que permita resolverlos. Una «máquina universal de Turing» es capaz de llevar a cabo cualquier tarea que pueda efectuar una máquina de Turing especialmente concebida para esa tarea. En breve, la máquina universal es capaz de computar todo lo que sea computable.
En 1950, la revista inglesa Mind, dedicada a temas filosóficos, publicó un artículo de Turing, «Computing Machinery and Intelligence». Desde aquella fecha, el artículo ha sido recogido en diversas antologías, entre ellas, en The World of Mathematics de James R. Newman (hay traducción española: Sigma, el mundo de las matemáticas, Ed. Grijalbo). Allí, Turing empezaba diciendo: «Me propongo examinar la cuestión ¿Pueden pensar las máquinas?». Así planteada, decía Turing, la pregunta era demasiado vaga para poder darle alguna respuesta significativa. Turing proponía entonces otra cuestión mucho más restringida, relacionada con ésta: ¿Es posible enseñar a un ordenador a ganar el «juego de imitación», hoy comúnmente conocido por juego de Turing o test de Turing?
Turing inspiró su test en un juego de salón. Un hombre y una mujer se encierran en distintas habitaciones. Un interrogador, da igual hombre que mujer, va haciéndoles preguntas a los jugadores. Las preguntas son formuladas a través de un intermediario; el correveidile trae las respuestas, de vuelta, escritas a máquina. Cada jugador se propone convencer al preguntón de que él o ella es, en realidad, la mujer, pongamos por ejemplo. El interrogador gana el juego cuando atina quien está diciendo la verdad.
Supongamos, decía Turing, que uno de los jugadores sea sustituido por una máquina capaz de aprender, a la que hemos enseñado a conversar en un lenguaje natural. ¿Es posible que una máquina así logre engañar al inquiridor, si tanto la máquina como su compañero humano se esforzasen al máximo en convencer al interrogador de que él, ella o ello son verdaderamente humanos? El significado de «engañar» queda desdibujado por varias imprecisiones. ¿Cuánto tiempo puede durar el interrogatorio? ¿Cuán inteligente es el interrogador? ¿Cuán inteligente es la persona que compite con la máquina? Un ordenador moderno podría superar el test de Turing si el interrogador fuese un niño que tan sólo pudiera formular unas cuantas preguntas. Es verosímil que no se produzcan en este campo avances espectaculares, como probablemente tampoco se produjeron en la evolución del intelecto humano. Las máquinas conversadoras podrían ir mejorando gradualmente, resistiendo diálogos más y más largos frente a interrogadores cada vez más perspicaces. Quizá llegue un día en que tan sólo un potentísimo ordenador electrónico sea capaz de discriminar sistemática y acertadamente las personas de las máquinas. El propio Turing hizo una predicción cautelosa. Hacia el año 2000, escribió, los ordenadores tendrán la facilidad de palabra suficiente como para despistar a un «interrogador corriente» alrededor del 30 por 100 de las veces al cabo de «unos cinco minutos» de conversación. Turing imaginó un diálogo que pudiera ser típico:

P. Vamos a ver, componga un soneto dedicado a sus padres.
R. No cuente conmigo para eso. Nunca he sabido escribir poesía ..
P. Sume 34957 y 70764.
R. (Pausa de unos 30 segundos antes de contestar). 105.621.
P. ¿Sabe jugar al ajedrez?
R. Sí.
P. Tengo mi rey en 1R. No tengo más piezas. Usted tiene su rey en 6R, una torre en 1T, y nada más. Juega usted. ¿Qué debe hacer?
R. (Tras pausa de unos 15 segundos). T8T. Mate.

Existen ya muchos programas que permiten que un ordenador simule conversaciones en lenguaje natural. Joseph Weizenbaum, ingeniero eléctrico del M.I.T., ha preparado uno que él ha bautizado «Eliza» en recuerdo de la Eliza Doolittle del Pygmalion de Shaw. El New York Times (15 de junio de 1968) reseñaba el siguiente diálogo mecanográfico entre una joven y un ordenador I.B.M. 7094, que suplantaba a un hipotético psicoanalista:
Mujer: Todos los hombres son iguales.
Ordenador: ¿En qué aspecto?
M. En que siempre están dándonos la lata con una cosa u otra.
O. ¿Puede darme algún ejemplo concreto?
M. Bueno, para que vea, mi novio me ha hecho venir aquí.
O. ¿Su novio la ha hecho venir aquí?
M. Sí. Dice que estoy siempre deprimida.
O. Lamento mucho que esté usted deprimida.
M. Pero es cierto. No soy feliz.
O. ¿Cree usted que venir aquí le servirá de ayuda?
M. Bueno, lo que está claro es que necesito que me ayuden.
O. ¿De qué cree usted que le serviría que le ayudasen?
M. Quizás... para llevarme mejor con mi madre.
O. Hábleme de su familia.
M. Mi madre se ocupa mucho de mí.
O. ¿Hay alguien más en su familia que se ocupe de usted?
M. También mi padre.
O. ¿Su padre?
M. Hay cosas en las que usted se parece a mi padre.
O. ¿Qué parecido me encuentra usted?
M. Usted no es nada agresivo, pero tengo la impresión de que no quiere que yo me dé cuenta.
O. ¿Por qué piensa usted que no soy agresivo?
M. Porque nunca me rebate lo que digo.
El diálogo prosigue en la misma tónica y no difiere gran cosa de la conversión entre un paciente y un terapeuta no directivo. El programa no era tan siquiera un programa «autodidacta». Weizenbaum admitió de buena gana que el ordenador no «comprendía» nada de lo que allí se decía. Desde luego, no podría superar el test de Turing. Supongamos, empero, que hacia el año 2020 haya ordenadores capaces de afrontar el juego de Turing con tanto éxito como ahora son capaces de jugar a las damas o al ajedrez. ¿Qué revelaría eso -si es que revela algo- acerca de la naturaleza de la «mente» de la máquina?
¿Puede un sistema pensarse a sí mismo?
Continuará...